Επίλυση x-2sqrt{x}-3=0

$$x-2 \sqrt{ x } -3=0$$

Λύση ως προς x

$$x=9$$

Βήματα λύσης

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$x-2\sqrt{x}=3$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2\sqrt{x}=3-x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2\sqrt{x}\right)^{2}=\left(3-x\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(3-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(3-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$4x=\left(3-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3-x\right)^{2}.

$$4x=9-6x+x^{2}$$

Προσθήκη 6x και στις δύο πλευρές.

$$4x+6x=9+x^{2}$$

Συνδυάστε το 4x και το 6x για να λάβετε 10x.

$$10x=9+x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x-x^{2}=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$10x-x^{2}-9=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+10x-9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=-\left(-9\right)=9$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 9.

$$1,9 3,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+9=10 3+3=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=9 b=1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+10x-9 ως \left(-x^{2}+9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(-x^{2}+9x\right)+\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην εξίσωση -x^{2}+9x.

$$-x\left(x-9\right)+x-9$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(-x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και -x+1=0.

$$x=9 x=1$$

Αντικαταστήστε το x με 9 στην εξίσωση x-2\sqrt{x}-3=0.

$$9-2\sqrt{9}-3=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=9 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση x-2\sqrt{x}-3=0.

$$1-2\sqrt{1}-3=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-4=0$$

Η εξίσωση -2\sqrt{x}=3-x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=9$$