Επίλυση x(x+sqrt{2})(x-sqrt{2})-1=0

$$x(x+ \sqrt{ 2 } )(x- \sqrt{ 2 } )-1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

$$x=-1$$

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+\sqrt{2}.

$$\left(x^{2}+x\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)-1=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+x\sqrt{2} με το x-\sqrt{2} και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{3}-x\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1=0$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$x^{3}-x\times 2-1=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 2 για να λάβετε -2.

$$x^{3}-2x-1=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -1 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-2x-1 με το x+1 για να λάβετε x^{2}-x-1. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -1 για b και -1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}-x-1=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=-1 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$