Επίλυση x+3sqrt{x}+4=0

$$x+3 \sqrt{ x } +4 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}\approx 0,5-3,968626967i$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x+4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3\sqrt{x}=-\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x+4, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$3\sqrt{x}=-x-4$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(3\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(3\sqrt{x}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$9x=\left(-x-4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-x-4\right)^{2}.

$$9x=x^{2}+8x+16$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9x-x^{2}=8x+16$$

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$9x-x^{2}-8x=16$$

Συνδυάστε το 9x και το -8x για να λάβετε x.

$$x-x^{2}=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$x-x^{2}-16=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+x-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 1 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -63.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-2}$$

Διαιρέστε το -1+3i\sqrt{7} με το -2.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3i\sqrt{7} από -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1-3i\sqrt{7} με το -2.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} στην εξίσωση x+3\sqrt{x}+4=0.

$$\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}+3\sqrt{\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}}+4=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{1+3\sqrt{7}i}{2} στην εξίσωση x+3\sqrt{x}+4=0.

$$\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}+3\sqrt{\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}}+4=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$9+3i\times 7^{\frac{1}{2}}=0$$

Η εξίσωση 3\sqrt{x}=-x-4 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}$$