Επίλυση x-sqrt{25-x^2}=2

$$x - \sqrt { 25 - x ^ { 2 } } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{46} + 2}{2} \approx 4,391164992$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-\sqrt{25-x^{2}}=2-x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(2-x\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}.

$$\left(-1\right)^{2}\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(2-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -1στη δύναμη του 2 και λάβετε 1.

$$1\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(2-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{25-x^{2}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 25-x^{2}.

$$1\left(25-x^{2}\right)=\left(2-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1 με το 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(2-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2-x\right)^{2}.

$$25-x^{2}=4-4x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$25-x^{2}-4=-4x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 4 από 25 για να λάβετε 21.

$$21-x^{2}=-4x+x^{2}$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$21-x^{2}+4x=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$21-x^{2}+4x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$21-2x^{2}+4x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+4x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 4 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 21}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 21}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 21}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+168}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το 168.

$$x=\frac{-4±\sqrt{184}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 184.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{46}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{46}}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{46}}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 2\sqrt{46}.

$$x=\frac{2\sqrt{46}-4}{-4}$$

Διαιρέστε το -4+2\sqrt{46} με το -4.

$$x=-\frac{\sqrt{46}}{2}+1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{46}}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{46} από -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}-4}{-4}$$

Διαιρέστε το -4-2\sqrt{46} με το -4.

$$x=\frac{\sqrt{46}}{2}+1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{\sqrt{46}}{2}+1 x=\frac{\sqrt{46}}{2}+1$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{\sqrt{46}}{2}+1 στην εξίσωση x-\sqrt{25-x^{2}}=2.

$$-\frac{\sqrt{46}}{2}+1-\sqrt{25-\left(-\frac{\sqrt{46}}{2}+1\right)^{2}}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{\sqrt{46}}{2}+1 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-46^{\frac{1}{2}}=2$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{\sqrt{46}}{2}+1 στην εξίσωση x-\sqrt{25-x^{2}}=2.

$$\frac{\sqrt{46}}{2}+1-\sqrt{25-\left(\frac{\sqrt{46}}{2}+1\right)^{2}}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{\sqrt{46}}{2}+1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Η εξίσωση -\sqrt{25-x^{2}}=2-x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{\sqrt{46}}{2}+1$$