Επίλυση x-sqrt{2x}=4

$$x - \sqrt { 2 x } = 4$$

Λύση ως προς x

$$x=8$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-\sqrt{2x}=4-x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(4-x\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-\sqrt{2x}\right)^{2}.

$$\left(-1\right)^{2}\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(4-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -1στη δύναμη του 2 και λάβετε 1.

$$1\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(4-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x.

$$1\times 2x=\left(4-x\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε 1 και 2 για να λάβετε 2.

$$2x=\left(4-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4-x\right)^{2}.

$$2x=16-8x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$2x-16=-8x+x^{2}$$

Προσθήκη 8x και στις δύο πλευρές.

$$2x-16+8x=x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το 8x για να λάβετε 10x.

$$10x-16=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x-16-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+10x-16=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=-\left(-16\right)=16$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=8 b=2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+10x-16 ως \left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(-x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και -x+2=0.

$$x=8 x=2$$

Αντικαταστήστε το x με 8 στην εξίσωση x-\sqrt{2x}=4.

$$8-\sqrt{2\times 8}=4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=8 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$4=4$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση x-\sqrt{2x}=4.

$$2-\sqrt{2\times 2}=4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=4$$

Η εξίσωση -\sqrt{2x}=4-x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=8$$