Επίλυση x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-2x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Συνδυάστε το 2x και το 2x για να λάβετε 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -1 για να λάβετε -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -21.

$$-1,21 -3,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-3 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+4x-7 ως \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-2x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Συνδυάστε το 2x και το 2x για να λάβετε 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -1 για να λάβετε -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 4 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 16 και το 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±10}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±10}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-2x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Συνδυάστε το 2x και το 2x για να λάβετε 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Προσθήκη 1 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Προσθέστε 6 και 1 για να λάβετε 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$