Επίλυση x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 4 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 με το x-1 για να λάβετε x^{3}-4x^{2}+6x-4. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -4 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-4x^{2}+6x-4 με το x-2 για να λάβετε x^{2}-2x+2. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -2 για b και 2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}-2x+2=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=1-i x=1+i$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 4 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 με το x-1 για να λάβετε x^{3}-4x^{2}+6x-4. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -4 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-4x^{2}+6x-4 με το x-2 για να λάβετε x^{2}-2x+2. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -2 για b και 2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$x\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=2$$