Επίλυση x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Παράγοντας

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 40 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Μία από αυτές τις ρίζες είναι η -5. Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο διαιρώντας το από το x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Υπολογίστε x^{3}+x^{2}-10x+8. Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 8 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Μία από αυτές τις ρίζες είναι η -4. Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο διαιρώντας το από το x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Υπολογίστε x^{2}-3x+2. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=-1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-3x+2 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$