Επίλυση x^2-x-30=0

$$x ^ { 2 } - x - 30 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-x-30 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-6 b=5$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-6 b=5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-x-30 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-x-30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -1 και το c με -30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -30.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2}$$

Προσθέστε το 1 και το 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±11}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±11}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 11.

$$x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±11}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 1.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το -10 με το 2.

$$x=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-30=0$$

Προσθέστε 30 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Η αφαίρεση του -30 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-x=-\left(-30\right)$$

Αφαιρέστε -30 από 0.

$$x^{2}-x=30$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 30 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-5$$