Επίλυση x^2-7x-30

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30$$

Παράγοντας

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-10 b=3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-7x-30 ως \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±13}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το 20 με το 2.

$$x=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±13}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x=-3$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 10 με το x_{1} και το -3 με το x_{2}.

$$x^{2}-7x-30=\left(x-10\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$x^{2}-7x-30=\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$