Επίλυση x^2-41x+400=0

$$x ^ { 2 } - 41 x + 400 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=16$$

$$x=25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-41x+400 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-41 ab=400$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -41.

$$a=-25 b=-16$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-25=0 και x-16=0.

$$x=25 x=16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+400. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -41.

$$a=-25 b=-16$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-41x+400 ως \left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right).

$$\left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -16 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-25\right)-16\left(x-25\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-25 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-25=0 και x-16=0.

$$x=25 x=16$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-41x+400=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -41 και το c με 400 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

Υψώστε το -41 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 400.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

Προσθέστε το 1681 και το -1600.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -41 είναι 41.

$$x=\frac{41±9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{41±9}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 41 και το 9.

$$x=\frac{50}{2}$$

Διαιρέστε το 50 με το 2.

$$x=25$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{41±9}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 41.

$$x=\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το 32 με το 2.

$$x=16$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=25 x=16$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-41x+400=0$$

Αφαιρέστε 400 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-41x+400-400=-400$$

Η αφαίρεση του 400 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-41x=-400$$

Διαιρέστε το -41, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{41}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{41}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{41}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

Προσθέστε το -400 και το \frac{1681}{4}.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγον x^{2}-41x+\frac{1681}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

Προσθέστε \frac{41}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=25 x=16$$