Επίλυση x^2-4x-21=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-4x-21 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=-21$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -21.

$$1,-21 3,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -4.

$$a=-7 b=3$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -21.

$$1,-21 3,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -4.

$$a=-7 b=3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-4x-21 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -4 και το c με -21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±10}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 10.

$$x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±10}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Προσθέστε 21 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Η αφαίρεση του -21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

Αφαιρέστε -21 από 0.

$$x^{2}-4x=21$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Προσθέστε το 21 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-3$$