Επίλυση x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -2 για b και -5 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\left(\sqrt{6}+1\right) και x-\left(1-\sqrt{6}\right) πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\left(\sqrt{6}+1\right) είναι θετικό και το x-\left(1-\sqrt{6}\right) είναι αρνητικό.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\left(1-\sqrt{6}\right) είναι θετικό και το x-\left(\sqrt{6}+1\right) είναι αρνητικό.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$