Επίλυση x^2-18x=-65

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x=13$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη 65 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-18x+65 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-18 ab=65$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -18.

$$a=-13 b=-5$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-13=0 και x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 65 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+65. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -18.

$$a=-13 b=-5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-18x+65 ως \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-13=0 και x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-18x=-65$$

Προσθέστε 65 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

Η αφαίρεση του -65 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

Αφαιρέστε -65 από 0.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -18 και το c με 65 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Υψώστε το -18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Προσθέστε το 324 και το -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -18 είναι 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±8}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 18 και το 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Διαιρέστε το 26 με το 2.

$$x=13$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±8}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=13 x=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x=-65$$

Διαιρέστε το -18, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -9. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Προσθέστε το -65 και το 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Παραγον x^{2}-18x+81. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=13 x=5$$