Επίλυση x^2-18x+45=0

$$x ^ { 2 } - 18 x + 45 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-18x+45 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-18 ab=45$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -18.

$$a=-15 b=-3$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-15\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-15=0 και x-3=0.

$$x=15 x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-18 ab=1\times 45=45$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -18.

$$a=-15 b=-3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-18x+45 ως \left(x^{2}-15x\right)+\left(-3x+45\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-3x+45\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-15\right)-3\left(x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-15\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-15=0 και x-3=0.

$$x=15 x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-18x+45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -18 και το c με 45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 45}}{2}$$

Υψώστε το -18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 45}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 45.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-180}}{2}$$

Προσθέστε το 324 και το -180.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±12}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -18 είναι 18.

$$x=\frac{18±12}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±12}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 18 και το 12.

$$x=\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το 30 με το 2.

$$x=15$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±12}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 18.

$$x=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=15 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x+45=0$$

Αφαιρέστε 45 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-18x+45-45=-45$$

Η αφαίρεση του 45 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-18x=-45$$

Διαιρέστε το -18, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -9. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-45+\left(-9\right)^{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-18x+81=-45+81$$

Προσθέστε το -45 και το 81.

$$x^{2}-18x+81=36$$

Παραγον x^{2}-18x+81. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=36$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Απλοποιήστε.

$$x-9=6 x-9=-6$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=15 x=3$$