Επίλυση x^2-16x+48=0

$$x ^ { 2 } - 16 x + 48 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-16x+48 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-16 ab=48$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -16.

$$a=-12 b=-4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και x-4=0.

$$x=12 x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-16 ab=1\times 48=48$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -16.

$$a=-12 b=-4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-16x+48 ως \left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-12\right)-4\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και x-4=0.

$$x=12 x=4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-16x+48=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -16 και το c με 48 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 48}}{2}$$

Υψώστε το -16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 48}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 48.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2}$$

Προσθέστε το 256 και το -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -16 είναι 16.

$$x=\frac{16±8}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{16±8}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 16 και το 8.

$$x=\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το 24 με το 2.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{16±8}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από 16.

$$x=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$x=4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-16x+48=0$$

Αφαιρέστε 48 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-16x+48-48=-48$$

Η αφαίρεση του 48 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-16x=-48$$

Διαιρέστε το -16, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -8. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-16x+64=-48+64$$

Προσθέστε το -48 και το 64.

$$x^{2}-16x+64=16$$

Παραγον x^{2}-16x+64. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=16$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε.

$$x-8=4 x-8=-4$$

Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=4$$