Επίλυση x^2-15x+44=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 44 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x=11$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-15x+44 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=44$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-11 b=-4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-11=0 και x-4=0.

$$x=11 x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+44. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=1\times 44=44$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-11 b=-4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-15x+44 ως \left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-11\right)-4\left(x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-11=0 και x-4=0.

$$x=11 x=4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -15 και το c με 44 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 44}}{2}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 44}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 44.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-176}}{2}$$

Προσθέστε το 225 και το -176.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±7}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 7.

$$x=\frac{22}{2}$$

Διαιρέστε το 22 με το 2.

$$x=11$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 15.

$$x=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$x=4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=11 x=4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Αφαιρέστε 44 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-15x+44-44=-44$$

Η αφαίρεση του 44 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-15x=-44$$

Διαιρέστε το -15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-44+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-44+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -44 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=11 x=4$$