Επίλυση x^2-15x+120=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 120 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}\approx 7,5+7,984359711i$$

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}\approx 7,5-7,984359711i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-15x+120=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -15 και το c με 120 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 120}}{2}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 120}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 120.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-480}}{2}$$

Προσθέστε το 225 και το -480.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-255}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -255.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{255}i}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το i\sqrt{255}.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{255} από 15.

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+120=0$$

Αφαιρέστε 120 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-15x+120-120=-120$$

Η αφαίρεση του 120 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-15x=-120$$

Διαιρέστε το -15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-120+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -120 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{255}{4}$$

Παραγον x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{255}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{255}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{255}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{255}i}{2}$$

Προσθέστε \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$