Επίλυση x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}-13x+42 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-13 ab=42$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-7 b=-6$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-7=0 και x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+42. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-7 b=-6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-13x+42 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το -6 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-7=0 και x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -13 και το c με 42 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Προσθέστε το 169 και το -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±1}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±1}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x=6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Αφαιρέστε 42 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Η αφαίρεση του 42 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Διαιρέστε το -13, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Προσθέστε το -42 και το \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Προσθέστε \frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=6$$