Επίλυση x^2-12x-64=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 64 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-12x-64 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=-64$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -64.

$$1,-64 2,-32 4,-16 8,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-64=-63 2-32=-30 4-16=-12 8-8=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-16 b=4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-16\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-16=0 και x+4=0.

$$x=16 x=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-64. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=1\left(-64\right)=-64$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -64.

$$1,-64 2,-32 4,-16 8,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-64=-63 2-32=-30 4-16=-12 8-8=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-16 b=4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-12x-64 ως \left(x^{2}-16x\right)+\left(4x-64\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(4x-64\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-16\right)+4\left(x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-16 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-16\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-16=0 και x+4=0.

$$x=16 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-12x-64=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -12 και το c με -64 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-64\right)}}{2}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-64\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -64.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+256}}{2}$$

Προσθέστε το 144 και το 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{400}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±20}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±20}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±20}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 20.

$$x=\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το 32 με το 2.

$$x=16$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±20}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από 12.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=16 x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-64=0$$

Προσθέστε 64 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-12x-64-\left(-64\right)=-\left(-64\right)$$

Η αφαίρεση του -64 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-12x=-\left(-64\right)$$

Αφαιρέστε -64 από 0.

$$x^{2}-12x=64$$

Διαιρέστε το -12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=64+\left(-6\right)^{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+36=64+36$$

Προσθέστε το 64 και το 36.

$$x^{2}-12x+36=100$$

Παραγον x^{2}-12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=100$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Απλοποιήστε.

$$x-6=10 x-6=-10$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=16 x=-4$$