Επίλυση x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -10 και το c με 90 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Διαιρέστε το 10+2i\sqrt{65} με το 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{65} από 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Διαιρέστε το 10-2i\sqrt{65} με το 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Αφαιρέστε 90 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Η αφαίρεση του 90 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Διαιρέστε το -10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Προσθέστε το -90 και το 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Απλοποιήστε.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$