Επίλυση x^2=64(425-x)

$$x ^ { 2 } = 64 ( 425 - x )$$

Λύση ως προς x

$$x=-200$$

$$x=136$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 64 με το 425-x.

$$x^{2}=27200-64x$$

Αφαιρέστε 27200 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-27200=-64x$$

Προσθήκη 64x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-27200+64x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+64x-27200=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+64x-27200 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=64 ab=-27200$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -27200.

$$-1,27200 -2,13600 -4,6800 -5,5440 -8,3400 -10,2720 -16,1700 -17,1600 -20,1360 -25,1088 -32,850 -34,800 -40,680 -50,544 -64,425 -68,400 -80,340 -85,320 -100,272 -136,200 -160,170$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+27200=27199 -2+13600=13598 -4+6800=6796 -5+5440=5435 -8+3400=3392 -10+2720=2710 -16+1700=1684 -17+1600=1583 -20+1360=1340 -25+1088=1063 -32+850=818 -34+800=766 -40+680=640 -50+544=494 -64+425=361 -68+400=332 -80+340=260 -85+320=235 -100+272=172 -136+200=64 -160+170=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 64.

$$a=-136 b=200$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-136\right)\left(x+200\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-136=0 και x+200=0.

$$x=136 x=-200$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 64 με το 425-x.

$$x^{2}=27200-64x$$

Αφαιρέστε 27200 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-27200=-64x$$

Προσθήκη 64x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-27200+64x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+64x-27200=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-27200. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=64 ab=1\left(-27200\right)=-27200$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -27200.

$$-1,27200 -2,13600 -4,6800 -5,5440 -8,3400 -10,2720 -16,1700 -17,1600 -20,1360 -25,1088 -32,850 -34,800 -40,680 -50,544 -64,425 -68,400 -80,340 -85,320 -100,272 -136,200 -160,170$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+27200=27199 -2+13600=13598 -4+6800=6796 -5+5440=5435 -8+3400=3392 -10+2720=2710 -16+1700=1684 -17+1600=1583 -20+1360=1340 -25+1088=1063 -32+850=818 -34+800=766 -40+680=640 -50+544=494 -64+425=361 -68+400=332 -80+340=260 -85+320=235 -100+272=172 -136+200=64 -160+170=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 64.

$$a=-136 b=200$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+64x-27200 ως \left(x^{2}-136x\right)+\left(200x-27200\right).

$$\left(x^{2}-136x\right)+\left(200x-27200\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 200 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-136\right)+200\left(x-136\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-136 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-136\right)\left(x+200\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-136=0 και x+200=0.

$$x=136 x=-200$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 64 με το 425-x.

$$x^{2}=27200-64x$$

Αφαιρέστε 27200 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-27200=-64x$$

Προσθήκη 64x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-27200+64x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+64x-27200=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 64 και το c με -27200 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-27200\right)}}{2}$$

Υψώστε το 64 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-27200\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -27200.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+108800}}{2}$$

Προσθέστε το 4096 και το 108800.

$$x=\frac{-64±\sqrt{112896}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 112896.

$$x=\frac{-64±336}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-64±336}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -64 και το 336.

$$x=\frac{272}{2}$$

Διαιρέστε το 272 με το 2.

$$x=136$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-64±336}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 336 από -64.

$$x=-\frac{400}{2}$$

Διαιρέστε το -400 με το 2.

$$x=-200$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=136 x=-200$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 64 με το 425-x.

$$x^{2}=27200-64x$$

Προσθήκη 64x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+64x=27200$$

Διαιρέστε το 64, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 32. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 32 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+64x+32^{2}=27200+32^{2}$$

Υψώστε το 32 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+64x+1024=27200+1024$$

Προσθέστε το 27200 και το 1024.

$$x^{2}+64x+1024=28224$$

Παραγον x^{2}+64x+1024. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+32\right)^{2}=28224$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+32\right)^{2}}=\sqrt{28224}$$

Απλοποιήστε.

$$x+32=168 x+32=-168$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=136 x=-200$$