Επίλυση x^2+8x-48=0

$$x ^ { 2 } + 8 x - 48 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-12$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+8x-48 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-4 b=12$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-4\right)\left(x+12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+12=0.

$$x=4 x=-12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-4 b=12$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+8x-48 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(12x-48\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(12x-48\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 12 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)+12\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x+12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+12=0.

$$x=4 x=-12$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+8x-48=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 8 και το c με -48 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-48\right)}}{2}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-48\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -48.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2}$$

Προσθέστε το 64 και το 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-8±16}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±16}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 16.

$$x=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±16}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -8.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το -24 με το 2.

$$x=-12$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-12$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+8x-48=0$$

Προσθέστε 48 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+8x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Η αφαίρεση του -48 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+8x=-\left(-48\right)$$

Αφαιρέστε -48 από 0.

$$x^{2}+8x=48$$

Διαιρέστε το 8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+8x+4^{2}=48+4^{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+8x+16=48+16$$

Προσθέστε το 48 και το 16.

$$x^{2}+8x+16=64$$

Παραγον x^{2}+8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=64$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Απλοποιήστε.

$$x+4=8 x+4=-8$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-12$$