Επίλυση x^2+6x=-x+30

$$x ^ { 2 } + 6 x = - x + 30$$

Λύση ως προς x

$$x=-10$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+6x+x=30$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$x^{2}+7x=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+7x-30 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-3 b=10$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-3\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+10=0.

$$x=3 x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+6x+x=30$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$x^{2}+7x=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-3 b=10$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+7x-30 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(10x-30\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(10x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)+10\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+10=0.

$$x=3 x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+6x+x=30$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$x^{2}+7x=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 7 και το c με -30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-7±13}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 13.

$$x=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -7.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$x=-10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+6x+x=30$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$x^{2}+7x=30$$

Διαιρέστε το 7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το 30 και το \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Παραγον x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-10$$