Επίλυση x^2+50x-30000=0

$$x ^ { 2 } + 50 x - 30000 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-200$$

$$x=150$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}+50x-30000 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=50 ab=-30000$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30000.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 50.

$$a=-150 b=200$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-150=0 και x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-30000. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=50 ab=1\left(-30000\right)=-30000$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30000.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 50.

$$a=-150 b=200$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+50x-30000 ως \left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right).

$$\left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 200 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-150\right)+200\left(x-150\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-150 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-150=0 και x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 50 και το c με -30000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Υψώστε το 50 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -30000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120000}}{2}$$

Προσθέστε το 2500 και το 120000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{122500}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 122500.

$$x=\frac{-50±350}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-50±350}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -50 και το 350.

$$x=\frac{300}{2}$$

Διαιρέστε το 300 με το 2.

$$x=150$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-50±350}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 350 από -50.

$$x=-\frac{400}{2}$$

Διαιρέστε το -400 με το 2.

$$x=-200$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=150 x=-200$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Προσθέστε 30000 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+50x-30000-\left(-30000\right)=-\left(-30000\right)$$

Η αφαίρεση του -30000 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+50x=-\left(-30000\right)$$

Αφαιρέστε -30000 από 0.

$$x^{2}+50x=30000$$

Διαιρέστε το 50, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 25. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 25 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+50x+25^{2}=30000+25^{2}$$

Υψώστε το 25 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+50x+625=30000+625$$

Προσθέστε το 30000 και το 625.

$$x^{2}+50x+625=30625$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+50x+625. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+25\right)^{2}=30625$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+25\right)^{2}}=\sqrt{30625}$$

Απλοποιήστε.

$$x+25=175 x+25=-175$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=150 x=-200$$