Επίλυση x^2+5x=84

$$x ^ { 2 } + 5 x = 84$$

Λύση ως προς x

$$x=-12$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 84 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+5x-84 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=-84$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-7 b=12$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 84 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-84. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=1\left(-84\right)=-84$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-7 b=12$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+5x-84 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 12 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)+12\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+5x=84$$

Αφαιρέστε 84 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+5x-84=84-84$$

Η αφαίρεση του 84 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 5 και το c με -84 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-84\right)}}{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-84\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -84.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+336}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το 336.

$$x=\frac{-5±\sqrt{361}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-5±19}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±19}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 19.

$$x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±19}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -5.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το -24 με το 2.

$$x=-12$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-12$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x=84$$

Διαιρέστε το 5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=84+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 84 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}$$

Παραγον x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{19}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{19}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-12$$