Επίλυση x^2+4x-45=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 45 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-9$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}+4x-45 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=4 ab=-45$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-5 b=9$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=4 ab=1\left(-45\right)=-45$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-5 b=9$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+4x-45 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 9 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-5\right)+9\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 4 και το c με -45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-45\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -45.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-4±14}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±14}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 14.

$$x=\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±14}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -4.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$x=-9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=-9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Προσθέστε 45 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+4x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Η αφαίρεση του -45 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-45\right)$$

Αφαιρέστε -45 από 0.

$$x^{2}+4x=45$$

Διαιρέστε το 4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+2^{2}=45+2^{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+4=45+4$$

Προσθέστε το 45 και το 4.

$$x^{2}+4x+4=49$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=49$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Απλοποιήστε.

$$x+2=7 x+2=-7$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-9$$