Επίλυση x^2+4x-320=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 320 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-20$$

$$x=16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+4x-320 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=-320$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -320.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-16 b=20$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-16\right)\left(x+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-16=0 και x+20=0.

$$x=16 x=-20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-320. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=1\left(-320\right)=-320$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -320.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-16 b=20$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+4x-320 ως \left(x^{2}-16x\right)+\left(20x-320\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(20x-320\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 20 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-16\right)+20\left(x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-16 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-16\right)\left(x+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-16=0 και x+20=0.

$$x=16 x=-20$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+4x-320=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 4 και το c με -320 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-320\right)}}{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-320\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -320.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1280}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το 1280.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1296}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1296.

$$x=\frac{-4±36}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±36}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 36.

$$x=\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το 32 με το 2.

$$x=16$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±36}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 36 από -4.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το -40 με το 2.

$$x=-20$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=16 x=-20$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-320=0$$

Προσθέστε 320 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+4x-320-\left(-320\right)=-\left(-320\right)$$

Η αφαίρεση του -320 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-320\right)$$

Αφαιρέστε -320 από 0.

$$x^{2}+4x=320$$

Διαιρέστε το 4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+2^{2}=320+2^{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+4=320+4$$

Προσθέστε το 320 και το 4.

$$x^{2}+4x+4=324$$

Παραγον x^{2}+4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=324$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Απλοποιήστε.

$$x+2=18 x+2=-18$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=16 x=-20$$