Επίλυση x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

Λύση ως προς x

$$x=-21$$

$$x=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη 84 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+25x+84 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=25 ab=84$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=4 b=21$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+4=0 και x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 84 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+84. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=4 b=21$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+25x+84 ως \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 21 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+4=0 και x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+25x=-84$$

Προσθέστε 84 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

Η αφαίρεση του -84 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

Αφαιρέστε -84 από 0.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 25 και το c με 84 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

Υψώστε το 25 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

Προσθέστε το 625 και το -336.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-25±17}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -25 και το 17.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$x=-4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-25±17}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -25.

$$x=-\frac{42}{2}$$

Διαιρέστε το -42 με το 2.

$$x=-21$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-4 x=-21$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x=-84$$

Διαιρέστε το 25, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{25}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{25}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{25}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

Προσθέστε το -84 και το \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

Παραγον x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{25}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-4 x=-21$$