Επίλυση x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+16x-512 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=-512$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=-16 b=32$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-16=0 και x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-512. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=-16 b=32$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+16x-512 ως \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 32 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-16 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-16=0 και x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 16 και το c με -512 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Προσθέστε το 256 και το 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±48}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το 32 με το 2.

$$x=16$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±48}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 48 από -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Διαιρέστε το -64 με το 2.

$$x=-32$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=16 x=-32$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Προσθέστε 512 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Η αφαίρεση του -512 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Αφαιρέστε -512 από 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Διαιρέστε το 16, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 8. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Προσθέστε το 512 και το 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Παραγον x^{2}+16x+64. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Απλοποιήστε.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=16 x=-32$$