Επίλυση x^2+14x+45=0

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+14x+45 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=45$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=5 b=9$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+5=0 και x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=5 b=9$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+14x+45 ως \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+5=0 και x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 14 και το c με 45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Προσθέστε το 196 και το -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το -10 με το 2.

$$x=-5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$x=-9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-5 x=-9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Αφαιρέστε 45 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Η αφαίρεση του 45 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+14x=-45$$

Διαιρέστε το 14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Προσθέστε το -45 και το 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Παραγον x^{2}+14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-5 x=-9$$