Επίλυση x^2+13x-30=0

$$x ^ { 2 } + 13 x - 30 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-15$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+13x-30 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=-2 b=15$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και x+15=0.

$$x=2 x=-15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=-2 b=15$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+13x-30 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και x+15=0.

$$x=2 x=-15$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 13 και το c με -30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-30\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2}$$

Προσθέστε το 169 και το 120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-13±17}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±17}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 17.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±17}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -13.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το -30 με το 2.

$$x=-15$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-15$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Προσθέστε 30 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Η αφαίρεση του -30 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+13x=-\left(-30\right)$$

Αφαιρέστε -30 από 0.

$$x^{2}+13x=30$$

Διαιρέστε το 13, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{13}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=30+\frac{169}{4}$$

Προσθέστε το 30 και το \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{289}{4}$$

Παραγον x^{2}+13x+\frac{169}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{17}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{13}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-15$$