Επίλυση x^2+12x+27=0

$$x ^ { 2 } + 12 x + 27 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+12x+27 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=27$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 27.

$$1,27 3,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+27=28 3+9=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=3 b=9$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+3=0 και x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 27.

$$1,27 3,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+27=28 3+9=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=3 b=9$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+12x+27 ως \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+3=0 και x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 12 και το c με 27 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 27}}{2}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 27.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2}$$

Προσθέστε το 144 και το -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-12±6}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±6}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±6}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από -12.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$x=-9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=-9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Αφαιρέστε 27 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+12x+27-27=-27$$

Η αφαίρεση του 27 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+12x=-27$$

Διαιρέστε το 12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Προσθέστε το -27 και το 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Παραγον x^{2}+12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-3 x=-9$$