Επίλυση x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x^{2}+11 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+11, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Αφαιρέστε 11 από 42 για να λάβετε 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}+11}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Για να υψώσετε μια δύναμη σε μια άλλη δύναμη, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Αφαιρέστε 961 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Αφαιρέστε 961 από 11 για να λάβετε -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Προσθήκη 62x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 62x^{2} για να λάβετε 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Αφαιρέστε x^{4} και από τις δύο πλευρές.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Αντικαταστήστε το t με το x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε -1 για a, 63 για b και -950 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Επιλύστε την εξίσωση t=\frac{-63±13}{-2} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$t=25 t=38$$

Αφού x=t^{2}, οι λύσεις ελέγχονται από την αξιολόγηση x=±\sqrt{t} για κάθε t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$42=42$$

Αντικαταστήστε το x με -5 στην εξίσωση x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$42=42$$

Αντικαταστήστε το x με \sqrt{38} στην εξίσωση x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\sqrt{38} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$56=42$$

Αντικαταστήστε το x με -\sqrt{38} στην εξίσωση x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\sqrt{38} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$56=42$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$