Επίλυση x^2+10x-3000=0

$$x ^ { 2 } + 10 x - 3000 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-60$$

$$x=50$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+10x-3000 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=-3000$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-50 b=60$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-50=0 και x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-3000. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-50 b=60$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+10x-3000 ως \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 60 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-50 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-50=0 και x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 10 και το c με -3000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12000}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το 12000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{12100}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 12100.

$$x=\frac{-10±110}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±110}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 110.

$$x=\frac{100}{2}$$

Διαιρέστε το 100 με το 2.

$$x=50$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±110}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 110 από -10.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Διαιρέστε το -120 με το 2.

$$x=-60$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=50 x=-60$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Προσθέστε 3000 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+10x-3000-\left(-3000\right)=-\left(-3000\right)$$

Η αφαίρεση του -3000 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+10x=-\left(-3000\right)$$

Αφαιρέστε -3000 από 0.

$$x^{2}+10x=3000$$

Διαιρέστε το 10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

Προσθέστε το 3000 και το 25.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

Παραγον x^{2}+10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

Απλοποιήστε.

$$x+5=55 x+5=-55$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=50 x=-60$$