Επίλυση x^2+(x-2)^2=100

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Αφαιρέστε 100 από 4 για να λάβετε -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-8 b=6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-2x-48 ως \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x+6=0.

$$x=8 x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Αφαιρέστε 100 από 4 για να λάβετε -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -4 και το c με -96 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 16 και το 768.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±28}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 28.

$$x=\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το 32 με το 4.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±28}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από 4.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Διαιρέστε το -24 με το 4.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

Αφαιρέστε 4 από 100 για να λάβετε 96.

$$2x^{2}-4x=96$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

Διαιρέστε το -4 με το 2.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

Διαιρέστε το 96 με το 2.

$$x^{2}-2x=48$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

Προσθέστε το 48 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-6$$