Επίλυση x^2+(14-x)^2=8^2

$$x ^ { 2 } + ( 14 - x ) ^ { 2 } = 8 ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=7+\sqrt{17}i\approx 7+4,123105626i$$

$$x=-\sqrt{17}i+7\approx 7-4,123105626i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(14-x\right)^{2}.

$$x^{2}+196-28x+x^{2}=8^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+196-28x=8^{2}$$

Υπολογίστε το 8στη δύναμη του 2 και λάβετε 64.

$$2x^{2}+196-28x=64$$

Αφαιρέστε 64 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+196-28x-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 196 για να λάβετε 132.

$$2x^{2}+132-28x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-28x+132=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -28 και το c με 132 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 132}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 132}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 132}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 132.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-1056}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 784 και το -1056.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{-272}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -272.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±4\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -28 είναι 28.

$$x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 28 και το 4i\sqrt{17}.

$$x=\frac{28+4\sqrt{17}i}{4}$$

Διαιρέστε το 28+4i\sqrt{17} με το 4.

$$x=7+\sqrt{17}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{17} από 28.

$$x=\frac{-4\sqrt{17}i+28}{4}$$

Διαιρέστε το 28-4i\sqrt{17} με το 4.

$$x=-\sqrt{17}i+7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7+\sqrt{17}i x=-\sqrt{17}i+7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(14-x\right)^{2}.

$$x^{2}+196-28x+x^{2}=8^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+196-28x=8^{2}$$

Υπολογίστε το 8στη δύναμη του 2 και λάβετε 64.

$$2x^{2}+196-28x=64$$

Αφαιρέστε 196 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-28x=64-196$$

Αφαιρέστε 196 από 64 για να λάβετε -132.

$$2x^{2}-28x=-132$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{132}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{132}{2}$$

Διαιρέστε το -28 με το 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{132}{2}$$

Διαιρέστε το -132 με το 2.

$$x^{2}-14x=-66$$

Διαιρέστε το -14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-66+\left(-7\right)^{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+49=-66+49$$

Προσθέστε το -66 και το 49.

$$x^{2}-14x+49=-17$$

Παραγον x^{2}-14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=-17$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{-17}$$

Απλοποιήστε.

$$x-7=\sqrt{17}i x-7=-\sqrt{17}i$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7+\sqrt{17}i x=-\sqrt{17}i+7$$