Επίλυση x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Για την αυξήσετε το \frac{x+3}{2} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το x^{2}-8x επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} και \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Έκφραση του 2\times \frac{x+3}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Απαλείψτε το 2 και το 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το -x-3 επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} και \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Έκφραση του 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Απαλείψτε το 2 στον αριθμητή και παρονομαστή.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 5x^{2}-30x-3 με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Προσθέστε -\frac{3}{2} και 14 για να λάβετε \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με \frac{5}{2}, το b με -15 και το c με \frac{25}{2} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το -10 επί \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Προσθέστε το 225 και το -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±10}{5} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

Διαιρέστε το 25 με το 5.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±10}{5} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

Διαιρέστε το 5 με το 5.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Για την αυξήσετε το \frac{x+3}{2} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το x^{2}-8x επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} και \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Έκφραση του 2\times \frac{x+3}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Απαλείψτε το 2 και το 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το -x-3 επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} και \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Έκφραση του 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Απαλείψτε το 2 στον αριθμητή και παρονομαστή.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 5x^{2}-30x-3 με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Προσθέστε -\frac{3}{2} και 14 για να λάβετε \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Αφαιρέστε \frac{25}{2} και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{5}{2}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Η διαίρεση με το \frac{5}{2} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Διαιρέστε το -15 με το \frac{5}{2}, πολλαπλασιάζοντας το -15 με τον αντίστροφο του \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Διαιρέστε το -\frac{25}{2} με το \frac{5}{2}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{25}{2} με τον αντίστροφο του \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-5$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Προσθέστε το -5 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Παραγον x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=1$$