Επίλυση x=sqrt{x}*1/x

$$x = \sqrt { x } \times \frac { 1 } { x }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=1$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}=\left(\sqrt{x}\times \frac{1}{x}\right)^{2}$$

Έκφραση του \sqrt{x}\times \frac{1}{x} ως ενιαίου κλάσματος.

$$x^{2}=\left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right)^{2}$$

Για την αυξήσετε το \frac{\sqrt{x}}{x} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$x^{2}=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{x^{2}}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$x^{2}=\frac{x}{x^{2}}$$

Απαλείψτε το x στον αριθμητή και παρονομαστή.

$$x^{2}=\frac{1}{x}$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x.

$$xx^{2}=1$$

Για να πολλαπλασιάσετε δυνάμεις της ίδιας βάσης, προσθέστε τους εκθέτες. Προσθέστε τον αριθμό 1 και τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 3.

$$x^{3}=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{3}-1=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -1 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-1 με το x-1 για να λάβετε x^{2}+x+1. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 1 για b και 1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}+x+1=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$1=\sqrt{1}\times \frac{1}{1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{-\sqrt{3}i-1}{2} στην εξίσωση x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}=\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}\times \frac{1}{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} στην εξίσωση x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\times \frac{1}{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Λίστα όλων των λύσεων για το x=\frac{1}{x}\sqrt{x}.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}=\left(\sqrt{x}\times \frac{1}{x}\right)^{2}$$

Έκφραση του \sqrt{x}\times \frac{1}{x} ως ενιαίου κλάσματος.

$$x^{2}=\left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right)^{2}$$

Για την αυξήσετε το \frac{\sqrt{x}}{x} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$x^{2}=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{x^{2}}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$x^{2}=\frac{x}{x^{2}}$$

Απαλείψτε το x στον αριθμητή και παρονομαστή.

$$x^{2}=\frac{1}{x}$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x.

$$xx^{2}=1$$

Για να πολλαπλασιάσετε δυνάμεις της ίδιας βάσης, προσθέστε τους εκθέτες. Προσθέστε τον αριθμό 1 και τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 3.

$$x^{3}=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{3}-1=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -1 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-1 με το x-1 για να λάβετε x^{2}+x+1. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 1 για b και 1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$x\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$1=\sqrt{1}\times \frac{1}{1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Η εξίσωση x=\frac{1}{x}\sqrt{x} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=1$$