Επίλυση x:y=15:13text{e}x-y=8

$$x : y = 15 : 13 \text { e } x - y = 8$$

Λύση ως προς x, y

$$x=60$$

$$y=52$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή y δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 13y, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των y,13.

$$13x=15y$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 13.

$$x=\frac{1}{13}\times 15y$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{13} επί 15y.

$$x=\frac{15}{13}y$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{15y}{13} στην άλλη εξίσωση, x-y=8.

$$\frac{15}{13}y-y=8$$

Προσθέστε το \frac{15y}{13} και το -y.

$$\frac{2}{13}y=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{2}{13}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$y=52$$

Αντικαταστήστε το y με 52 στην x=\frac{15}{13}y. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=\frac{15}{13}\times 52$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{15}{13} επί 52.

$$x=60$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=60,y=52$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή y δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 13y, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των y,13.

$$13x=15y$$

Αφαιρέστε 15y και από τις δύο πλευρές.

$$13x-15y=0$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&\frac{13}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{15}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{13}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\times 8\\\frac{13}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\52\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=60,y=52$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή y δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 13y, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των y,13.

$$13x=15y$$

Αφαιρέστε 15y και από τις δύο πλευρές.

$$13x-15y=0$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

Για να κάνετε τα 13x και x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 1 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 13.

$$13x-15y=0,13x+13\left(-1\right)y=13\times 8$$

Απλοποιήστε.

$$13x-15y=0,13x-13y=104$$

Αφαιρέστε 13x-13y=104 από 13x-15y=0 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$13x-13x-15y+13y=-104$$

Προσθέστε το 13x και το -13x. Οι όροι 13x και -13x απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$-15y+13y=-104$$

Προσθέστε το -15y και το 13y.

$$-2y=-104$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$y=52$$

Αντικαταστήστε το y με 52 στην x-y=8. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x-52=8$$

Προσθέστε 52 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=60$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=60,y=52$$