Επίλυση x+sqrt{4x+1}=5

$$x + \sqrt { 4 x + 1 } = 5$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{4x+1}=5-x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}=\left(5-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4x+1.

$$4x+1=\left(5-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5-x\right)^{2}.

$$4x+1=25-10x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$4x+1-25=-10x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 25 από 1 για να λάβετε -24.

$$4x-24=-10x+x^{2}$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$4x-24+10x=x^{2}$$

Συνδυάστε το 4x και το 10x για να λάβετε 14x.

$$14x-24=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=12 b=2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+14x-24 ως \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Αντικαταστήστε το x με 12 στην εξίσωση x+\sqrt{4x+1}=5.

$$12+\sqrt{4\times 12+1}=5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=12 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$19=5$$

Αντικαταστήστε το x με 2 στην εξίσωση x+\sqrt{4x+1}=5.

$$2+\sqrt{4\times 2+1}=5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=5$$

Η εξίσωση \sqrt{4x+1}=5-x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=2$$