Επίλυση x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Συνδυάστε το 6x και το 9x για να λάβετε 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Συνδυάστε το 15x και το -2x για να λάβετε 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Προσθέστε 3 και 4 για να λάβετε 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Αφαιρέστε 6x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Προσθήκη 12 και στις δύο πλευρές.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Προσθέστε 7 και 12 για να λάβετε 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -6x^{2}+ax+bx+19. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=19 b=-6$$

Γράψτε πάλι το -6x^{2}+13x+19 ως \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6x-19 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 6x-19=0 και -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Συνδυάστε το 6x και το 9x για να λάβετε 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Συνδυάστε το 15x και το -2x για να λάβετε 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Προσθέστε 3 και 4 για να λάβετε 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Αφαιρέστε 6x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Προσθήκη 12 και στις δύο πλευρές.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Προσθέστε 7 και 12 για να λάβετε 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -6, το b με 13 και το c με 19 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 24 επί 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Προσθέστε το 169 και το 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±25}{-12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Διαιρέστε το 12 με το -12.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±25}{-12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-38}{-12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Συνδυάστε το 6x και το 9x για να λάβετε 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Συνδυάστε το 15x και το -2x για να λάβετε 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Προσθέστε 3 και 4 για να λάβετε 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Αφαιρέστε 6x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Αφαιρέστε 7 από -12 για να λάβετε -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Η διαίρεση με το -6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Διαιρέστε το 13 με το -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Διαιρέστε το -19 με το -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Προσθέστε το \frac{19}{6} και το \frac{169}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Παραγον x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Προσθέστε \frac{13}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$