Επίλυση t^2-3t-4=0

$$t ^ { 2 } - 3 t - 4 = 0$$

Λύση ως προς t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση t^{2}-3t-4 χρησιμοποιώντας τον τύπο t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-3 ab=-4$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$1,-4 2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-4 b=1$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(t+a\right)\left(t+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε t-4=0 και t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως t^{2}+at+bt-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$1,-4 2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-4 b=1$$

Γράψτε πάλι το t^{2}-3t-4 ως \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το t στην εξίσωση t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο t-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε t-4=0 και t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -3 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2}$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±5}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$t=\frac{3±5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{3±5}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 5.

$$t=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$t=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{3±5}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 3.

$$t=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$t=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=4 t=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t^{2}-3t-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$t^{2}-3t=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$t^{2}-3t=4$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=4 t=-1$$