Επίλυση t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Λύση ως προς t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε t^{2}-24t-180 χρησιμοποιώντας τον τύπο t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -24.

$$a=-30 b=6$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(t+a\right)\left(t+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε t-30=0 και t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως t^{2}+at+bt-180. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -24.

$$a=-30 b=6$$

Γράψτε πάλι το t^{2}-24t-180 ως \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Παραγοντοποιήστε t στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο t-30 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε t-30=0 και t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -24 και το c με -180 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Προσθέστε το 576 και το 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{24±36}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Διαιρέστε το 60 με το 2.

$$t=30$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{24±36}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 36 από 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το -12 με το 2.

$$t=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=30 t=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Προσθέστε 180 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Η αφαίρεση του -180 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Αφαιρέστε -180 από 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Διαιρέστε το -24, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -12. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Προσθέστε το 180 και το 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Παραγον t^{2}-24t+144. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Απλοποιήστε.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Προσθέστε 12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=30 t=-6$$