Επίλυση r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Λύση ως προς r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -22 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Προσθέστε το 484 και το 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Διαιρέστε το 22+16\sqrt{2} με το 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16\sqrt{2} από 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Διαιρέστε το 22-16\sqrt{2} με το 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Η αφαίρεση του -7 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Αφαιρέστε -7 από 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Διαιρέστε το -22, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -11. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Προσθέστε το 7 και το 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Παραγον r^{2}-22r+121. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Απλοποιήστε.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Προσθέστε 11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$