Επίλυση p-4sqrt{p}=21

$$p - 4 \sqrt { p } = 21$$

Λύση ως προς p

$$p=49$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε p και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-4\sqrt{p}=21-p$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-4\sqrt{p}\right)^{2}=\left(21-p\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-4\sqrt{p}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{p}\right)^{2}=\left(21-p\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16\left(\sqrt{p}\right)^{2}=\left(21-p\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{p}στη δύναμη του 2 και λάβετε p.

$$16p=\left(21-p\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(21-p\right)^{2}.

$$16p=441-42p+p^{2}$$

Αφαιρέστε 441 και από τις δύο πλευρές.

$$16p-441=-42p+p^{2}$$

Προσθήκη 42p και στις δύο πλευρές.

$$16p-441+42p=p^{2}$$

Συνδυάστε το 16p και το 42p για να λάβετε 58p.

$$58p-441=p^{2}$$

Αφαιρέστε p^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$58p-441-p^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-p^{2}+58p-441=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -p^{2}+ap+bp-441. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=58 ab=-\left(-441\right)=441$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 58.

$$a=49 b=9$$

Γράψτε πάλι το -p^{2}+58p-441 ως \left(-p^{2}+49p\right)+\left(9p-441\right).

$$\left(-p^{2}+49p\right)+\left(9p-441\right)$$

Παραγοντοποιήστε -p στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$-p\left(p-49\right)+9\left(p-49\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο p-49 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(p-49\right)\left(-p+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε p-49=0 και -p+9=0.

$$p=49 p=9$$

Αντικαταστήστε το p με 49 στην εξίσωση p-4\sqrt{p}=21.

$$49-4\sqrt{49}=21$$

Απλοποιήστε. Η τιμή p=49 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$21=21$$

Αντικαταστήστε το p με 9 στην εξίσωση p-4\sqrt{p}=21.

$$9-4\sqrt{9}=21$$

Απλοποιήστε. Η τιμή p=9 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-3=21$$

Η εξίσωση -4\sqrt{p}=21-p έχει μια μοναδική λύση.

$$p=49$$