Επίλυση p^4-2p^2-8

$$p ^ { 4 } - 2 p ^ { 2 } - 8$$

Παράγοντας

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Βήματα λύσης

Για να παραγοντοποιήστε την παράσταση, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$p^{4}-2p^{2}-8=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -8 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$p=2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, p-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το p^{4}-2p^{2}-8 με το p-2 για να λάβετε p^{3}+2p^{2}+2p+4. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$p^{3}+2p^{2}+2p+4=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 4 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$p=-2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, p-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το p^{3}+2p^{2}+2p+4 με το p+2 για να λάβετε p^{2}+2. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$p^{2}+2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 0 για b και 2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$p=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$p=\frac{0±\sqrt{-8}}{2}$$

Το πολυώνυμο p^{2}+2 δεν έχει παραγοντοποιηθεί, επειδή δεν έχει λογικές ρίζες.

$$p^{2}+2$$

Γράψτε ξανά την παραγοντοποιημένη παράσταση χρησιμοποιώντας τις ρίζες που έχουν ληφθεί.

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Υπολογισμός

$$p^{4}-2p^{2}-8$$