Επίλυση p^2-4p-117

$$p ^ { 2 } - 4 p - 117$$

Παράγοντας

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως p^{2}+ap+bp-117. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=1\left(-117\right)=-117$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -117.

$$1,-117 3,-39 9,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-117=-116 3-39=-36 9-13=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -4.

$$a=-13 b=9$$

Γράψτε πάλι το p^{2}-4p-117 ως \left(p^{2}-13p\right)+\left(9p-117\right).

$$\left(p^{2}-13p\right)+\left(9p-117\right)$$

Παραγοντοποιήστε p στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$p\left(p-13\right)+9\left(p-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο p-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$p^{2}-4p-117=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-117\right)}}{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-117\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -117.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+468}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το 468.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{484}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 484.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±22}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$p=\frac{4±22}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{4±22}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 22.

$$p=\frac{26}{2}$$

Διαιρέστε το 26 με το 2.

$$p=13$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{4±22}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 22 από 4.

$$p=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$p=-9$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 13 με το x_{1} και το -9 με το x_{2}.

$$p^{2}-4p-117=\left(p-13\right)\left(p-\left(-9\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$p^{2}-4p-117=\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$