Επίλυση n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Λύση ως προς n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση n^{2}-n-210 χρησιμοποιώντας τον τύπο n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-15 b=14$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(n+a\right)\left(n+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε n-15=0 και n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-210. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-15 b=14$$

Γράψτε πάλι το n^{2}-n-210 ως \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Παραγοντοποιήστε το n στην πρώτη και το 14 στη δεύτερη ομάδα.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε n-15=0 και n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n^{2}-n-210=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -1 και το c με -210 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Προσθέστε το 1 και το 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{1±29}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το 30 με το 2.

$$n=15$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{1±29}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 29 από 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Διαιρέστε το -28 με το 2.

$$n=-14$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=15 n=-14$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Προσθέστε 210 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Η αφαίρεση του -210 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Αφαιρέστε -210 από 0.

$$n^{2}-n=210$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 210 και το \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το n^{2}-n+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=15 n=-14$$