Επίλυση n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Λύση ως προς n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε n^{2}-11n-60 χρησιμοποιώντας τον τύπο n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-15 b=4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(n+a\right)\left(n+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-15=0 και n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-60. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-15 b=4$$

Γράψτε πάλι το n^{2}-11n-60 ως \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-15=0 και n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -11 και το c με -60 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Προσθέστε το 121 και το 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{11±19}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το 30 με το 2.

$$n=15$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{11±19}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$n=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=15 n=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Προσθέστε 60 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Η αφαίρεση του -60 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Αφαιρέστε -60 από 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Διαιρέστε το -11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το 60 και το \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Παραγον n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Προσθέστε \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=15 n=-4$$